题目
如图,已知⊙O的直径AB=2,直线m与⊙O相切于点A,P为⊙O上一动点(与点A、点B不重合),PO的延长线与⊙O相交于点C,过点C的切线与直线m相交于点D.
(1)求证:△APC∽△COD;
(2)设AP=x,OD=y,试用含x的代数式表示y;
(3)试探索x为何值时,△ACD是一个等边三角形.
(1)求证:△APC∽△COD;
(2)设AP=x,OD=y,试用含x的代数式表示y;
(3)试探索x为何值时,△ACD是一个等边三角形.
提问时间:2020-07-18
答案
(1)证明:∵PC是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,
∴∠PAC=∠OCD=90°,
∵DA,DC是⊙O的切线,
∴∠ADO=∠CDO,AD=DC,
∴DO⊥AC,
∴PA∥OD,
∴∠P=∠DOC,
∴△APC∽△COD.
(2)由△APC∽△COD,得:
=
∴
=
,
∴y=
.
(3)若△ACD是一个等边三角形,则∠ADC=60°,∠ODC=30°,
∵OD=2OC,
∴y=2,
∴x=1.
当x=1时,△ACD是一个等边三角形.
∴∠PAC=∠OCD=90°,
∵DA,DC是⊙O的切线,
∴∠ADO=∠CDO,AD=DC,
∴DO⊥AC,
∴PA∥OD,
∴∠P=∠DOC,
∴△APC∽△COD.
(2)由△APC∽△COD,得:
AP |
PC |
OC |
OD |
∴
x |
2 |
1 |
y |
∴y=
2 |
x |
(3)若△ACD是一个等边三角形,则∠ADC=60°,∠ODC=30°,
∵OD=2OC,
∴y=2,
∴x=1.
当x=1时,△ACD是一个等边三角形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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