题目

已知函数f(x)=x[1/（3^x-1）+1/2] 求定义域 讨论奇偶性 证明它在定义域上恒大于0
定义域会求,主要是后面两小问.

提问时间：2021-03-20

答案

（1）求定义域
要使函数有意义,必须使3^x-1≠0,1/（3^x-1）+1/2≠0
解得函数的定义域为x≠0
（2）讨论奇偶性
函数f(x)=x[1/（3^x-1）+1/2] 经化简得
f(x)=x（3^x-1）/（3^x+1） （x≠0）
f(-x)=（-x）[3^（-x）-1]/3^（-x）+1]
=x(3^x-1）/（3^x+1）
=f(x)
由此可见f(x)为偶函数
（3）证明它在定义域上恒大于0
由于函数为
f(x)=x（3^x-1）/（3^x+1） （x≠0）
当x＞0时
x（3^x-1）＞0,
3^x+1＞1
所以f(x)＞0 ——两个正数相除得正数
当x＜0时
3^x-1＜0,x（3^x-1）＞0 ——两个负数相乘得正数
3^x+1＞1
所以f(x)＞0 ——两个正数相除得正数
所以函数f(x)在定义域x≠上恒大于0