题目

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD＝2

2

，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（I）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；
（II）求证：BD⊥平面PAC；
（III）若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积．

提问时间：2021-03-20

答案

（Ⅰ）∵AB∥CD，CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．…（2分）∵CD⊂平面PCD，平面PAB∩平面PCD=m，∴CD∥m．…（4分）（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥PA，Rt△ABD中，tan∠ABD=ADAB=22；Rt△ACD...

（I）根据线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAB．再线面平行的性质，可得CD∥m；
（II）利用平面几何知识，证出BD⊥AC，结合PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，根据线面垂直的判定定理，得BD⊥平面PAC；
（III）过点C作CM⊥AB于M，根据线面垂直的判定定理结合已知条件，可证出CM⊥面PBE，从而CM是三棱锥C-PBE的高，再算出△PBE的面积，结合锥体体积公式可算出四面体PBEC的体积．

本题考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面平行和线面垂直，并求四面体的体积，着重考查了空间的线面垂直、线面平行的判定与性质，锥体体积的求法等知识，属于中档题．