题目
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E.
(1)若BC=CD=2,M为线段AC上一点,且AM:CM=1:2,连接BM,求点C到BM的距离.
(2)证明:BC+CD=AC.
(1)若BC=CD=2,M为线段AC上一点,且AM:CM=1:2,连接BM,求点C到BM的距离.
(2)证明:BC+CD=AC.
提问时间:2021-03-20
答案
(1)∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵BC=CD,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC=30°,∠ACB=∠ACD=60°.
∴∠AEB=∠BEC=90°,∠ABC=90°,
∴CE=
BC=1,BE=
,AC=2BC=4.
∵AM:CM=1:2,
∴AM=
,CM=
,
∴EM=
,在Rt△BEM中由勾股定理得
BM=
=
.
过点C作CF⊥BM于点F.
∴
=
.
∴
=
,
∴CF=
.
即点C到BM的距离
.
(2)证明:延长BC到点F,使CF=CB,连接DF,
∵AB=AD,∠ABD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,AD=BD,
∴BC=CD,
∴CF=CD.
∵∠BCD=120°,
∴∠DCF=180°-∠BCD=60°,
∴△DCF是等边三角形,
∴∠CDF=∠ADB=60°,DC=DF,
∴∠ADC=∠BDF,
又∵AD=BD,
∴△ACD≌△BDF,
∴AC=BF=BC+CF,
即AC=BC+CD.
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵BC=CD,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC=30°,∠ACB=∠ACD=60°.
∴∠AEB=∠BEC=90°,∠ABC=90°,
∴CE=
1 |
2 |
3 |
∵AM:CM=1:2,
∴AM=
4 |
3 |
8 |
3 |
∴EM=
5 |
3 |
BM=
(
|
2
| ||
3 |
过点C作CF⊥BM于点F.
∴
BM.CF |
2 |
CM.BE |
2 |
∴
| ||||
2 |
| ||||
2 |
∴CF=
4
| ||
13 |
即点C到BM的距离
4
| ||
13 |
(2)证明:延长BC到点F,使CF=CB,连接DF,
∵AB=AD,∠ABD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,AD=BD,
∴BC=CD,
∴CF=CD.
∵∠BCD=120°,
∴∠DCF=180°-∠BCD=60°,
∴△DCF是等边三角形,
∴∠CDF=∠ADB=60°,DC=DF,
∴∠ADC=∠BDF,
又∵AD=BD,
∴△ACD≌△BDF,
∴AC=BF=BC+CF,
即AC=BC+CD.
举一反三
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