题目

当x→0的时候 这个式子的极限是多少.
(a^x-a^sinx)/sinx^3

提问时间：2021-03-20

答案

(a^x-a^sinx) = a^sinx [a^(x -sinx) - 1]
= a^sinx {e^[(x -sinx)lna] - 1}
e^[(x -sinx)lna] -1 与 [(x -sinx)lna] 是等价无穷小
sinx^3 与 x^3 是等价无穷小
a^sinx ->1
将极限化成 [(x -sinx)lna] / x^3,然后用罗彼得法则一次,再用等价无穷小一次.可得答案lna /6
lim [(x -sinx)lna] / x^3=lim [(1-cosx)lna] / [3x^2]
=lim [(1/2)(x^2) lna] / [3x^2]=(1/6) lna