题目
对于任意的x1,x2∈R.若函数f(x)=2^x,试比较[f(x1)+f(x2)]/2与f[(x1+x 2)/2]的大小
提问时间:2021-03-20
答案
底数2>1,2^x恒>0
[f(x1)+f(x2)]/2/f[(x1+x2)/2]
=[(2^x1+2^x2)/2]/2^[(x1+x2)/2]
=[2^(x1-1)+2^(x2-1)]/2^[(x1+x2)/2]
=2^[x1-1 -(x1+x2)/2] +2^[x2-1-(x1+x2)/2]
=2^[(x1-x2)/2 -1]+2^[(x2-x1)/2 -1]
=(1/2)[2^[(x1-x2)/2] +1/2^[(x1-x2)]/2]
由均值不等式得2^[(x1-x2)/2]+1/2^[(x1-x2)/2]≥2,当且仅当x1=x2时取等号.
(1/2)[2^[(x1-x2)/2] +1/2^[(x1-x2)]/2]≥1
[f(x1)+f(x2)]/2≥f[(x1+x2)/2],当且仅当x1=x2时取等号
[f(x1)+f(x2)]/2/f[(x1+x2)/2]
=[(2^x1+2^x2)/2]/2^[(x1+x2)/2]
=[2^(x1-1)+2^(x2-1)]/2^[(x1+x2)/2]
=2^[x1-1 -(x1+x2)/2] +2^[x2-1-(x1+x2)/2]
=2^[(x1-x2)/2 -1]+2^[(x2-x1)/2 -1]
=(1/2)[2^[(x1-x2)/2] +1/2^[(x1-x2)]/2]
由均值不等式得2^[(x1-x2)/2]+1/2^[(x1-x2)/2]≥2,当且仅当x1=x2时取等号.
(1/2)[2^[(x1-x2)/2] +1/2^[(x1-x2)]/2]≥1
[f(x1)+f(x2)]/2≥f[(x1+x2)/2],当且仅当x1=x2时取等号
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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