题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，（a，b，c∈R）的一个零点为x=1，另外两个零点分别可作为椭圆和双曲线的离心率，则

b

a

的取值范围是 ___ ．

提问时间：2021-03-20

答案

依题意可知f（1）=1+a+b+c=0∴a+b+c=-11+a+b+c=0得c=-1-a-b代入f（x）=x3+ax2+bx-1-a-b=（x-1）（x2+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+bg（x）=0的两根满足0＜x1＜1 x2＞1g（0）=1+a+b＞0g...

把x=1，y=0代入函数解析式求得a+b+c的值；然后求得a，b和c的关系代入函数解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用线性规划求得

b

a

的范围．

本题考点：椭圆的应用；双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了函数的零点和根的分布，圆锥曲线的共同特征，线性规划的基础知识．考查基础知识的综合运用．