题目

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设x＞0，试比较f（x）与g（x）的大小．

提问时间：2021-03-20

答案

（I）由题意：f'（x）=

1

x

，g'（x）=a-

b

x2

，（2分）
∴由题意可得：

a+b=0 a-b=1

⇒

a= 1 2 b=- 1 2

．（5分）
（11）由（I）可知g（x）=

1

2

（x-

1

x

），令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

）．．
∵F'（x）=

1

x

-

1

2

（1+

1

x2

）=-

1

2

（1+

1

x2

-

2

x

）=-

1

2

(1-

1

x

)2≤0，（8分）
∴F（x）是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，（9分）
∴当x∈（0，1）时，F（x）＞0，有f（x）＞g（x）；
当x∈（1，+∞）时，F（x）＜0，有f（x）＜g（x）；
当x=1时，F（x）=0，有f（x）=g（x）．（12分）

（Ⅰ）先求出两个函数的导函数，再利用函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线对应的等式即可求a、b的值；
（Ⅱ）先设F（x）=f（x）-g（x），再求出其导函数，得出其在（0，+∞）上是减函数且F（1）=0，即可得f（x）与g（x）的大小．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．

考点点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及分类讨论思想的运用，主要考查导数的应用，属于中档题．