题目

求证a.a.a+b.b.b+c.c.c-a(b-c)(b-c)-b(a-c)(a-c)-c(a-b)(a-b)-4abc小于0,其中a,b,c是三角形ABC的3边.

提问时间：2021-03-20

答案

将待证不等式转换为
(b.b + c.c -a.a)/ (2b.c) + (c.c +a.a -b.b)/(2c.a) + (a.a + b.b -c.c) / (2 a.b) > 1
即 cosA + cosB + cosC > 1
注意到 C = Pi -(A + B)
即证
cosA + cosB > 1 + cos(A+B)
或者
2cos ( (A+B)/2 ) cos( (A-B)/2 ) > 2 cos^2 ( (A+B)/2 )
或者
2 sin ( C/2 ) 2 sin (A/2 ) sin (B/2) > 0
由于 C/2,A/2,B/2 都在 0,Pi/2之间,以上结论是显然的.
于是得证