题目

设函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为实数）．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值； 
（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

提问时间：2021-03-20

答案

（1）由已知f（-x）=f（x），即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0
（2）f(x)＝

x2+2x−a，x≥ 1 2 a x2−2x+a，x＜ 1 2 a

当x≥

1

2

a时，f（x）=x²+2x-a=（x+1）²-（a+1）
由a＞2，x≥

1

2

a，得x＞1，从而x＞-1
故f（x）在x≥

1

2

a时单调递增，f（x）的最小值为f(

a

2

)＝

a2

4

当x＜

1

2

a时，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1）
故当1＜x＜

a

2

时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减
则f（x）的最小值为f（1）=a-1
由

a2

4

−(a−1)＝

(a−2)2

4

＞0，知f（x）的最小值为a-1．

（1）根据偶函数的定义可得f（-x）=f（x）然后代入即可求出a
（2）可根据绝对值的定义可将函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为实数）转化为）f(x)＝

x2+2x−a，x≥ 1 2 a x2−2x+a，x＜ 1 2 a

然后根据a＞2再结合一元二次函数的单调性可求出f（x）在各段的最小值然后比较两个最小值的大小则较小的最小值即为所求．

本题考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题主要考查了偶函数的概念和利用一元二次函数的单调性求最小值．解题的关键是第一问要知道f（x）为偶函数则必有f（-x）=f（x）而第二问首先要根据绝对值的意义将所给函数化为熟知的分段函数然后结合a的取值范围和每一段的一元二次函数的单调性求出每一段的最小值最后只需比较两最小值的大小取较小的即可！