题目

均值不等式的疑问
x+y+z = pi ,求 sinx+siny+sinz 的最大值
这题用和差化积做是(3/2)*根号2,但是如果用均值不等式,sinx+siny+sinz>=3(sinxsinysinz)^(1/3).当x=y=z=pi/3时取等,此时最小值是(3/2)*根号2,这是怎么回事?
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提问时间：2021-03-19

答案

你的问题主要在没有搞清处右边应该为定值.
>=(sinxsinysinz)^(1/3).当x=y=z=pi/3时取等
表面上看是取了定值,但这是不允许的.
比如已知x,y为正数,x^2+y^2=4,求x+y的最大值
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=4+2xy<=4+x^2+y^2=8
此时可用均值不等式因为x,y可以相等,而且x^2+y^2是一个定值,即已知常数.
同样的,
x+y>=2根号xy
2xy<=4
不等号方向相反,又当x=y时可同时取等号,故可将xy=4代入,得x+y>=4(x=y时取到)
此时得xy也是定值、