题目

已知数列{an/P^(n-1)}的前n项和Sn=n²+2n(其中常数p>0)
求数列{an}的通项公式
设Tn为数列{an}的前n项和（1）求Tn的表达式  
                                         （2）若对任意n∈N+,都有（1-p)Tn+pan≥2p^n,求p的取值范围

提问时间：2021-03-19

答案

1)易得an/p^(n-1)=Sn-S(n-1)=2n+1
an=(2n+1)p^(n-1)
Tn=3+5p+7p^2+...+(2n-1)p^(n-1)+(2n+1)p^(n-1)①
pTn=3p+5p^2+7p^3+...+(2n-1)p^(n-1)+(2n+1)p^n②
①-②,得
(1-p)Tn=3+2p+2p^2+...+2p^(n-1)-(2n+1)p^n
当p≠1时
(1-p)Tn=1+2(1-p^n)/(1-p)-(2n+1)p^n
Tn=1/(1-p)+2(1-p^n)/(1-p)^2-(2n+1)p^n/(1-p)
当p=1时
Tn=Sn=n^2+2n
2)当p=1时,不等式化为an≥2,符合题意
当p≠1时,
(1-p)Tn+pan=1+2(1-p^n)/(1-p)-(2n+1)p^n+(2n+1)p^n
=1+2(1-p^n)/(1-p)≥2p^n
若p