题目

已知向量OA=(k,k),向量OB=(m-√3m,m+√3m),其中k>0,m>0,当k=m=1时,
(1)当k=m=1时，证明向量OA⊥向量OB
(2)求向量OA,OB的夹角的大小
(3)设向量AB的模=√3，求OA模+OB模的最大值

提问时间：2021-03-19

答案

OA,OB可以表示为：OA = k*(1,1)；OB=m*(1-√3,1+√3)
(1) 当且仅当 m=0,或 k=0时,向量OA⊥向量OB；只要m*k≠0,OA,OB的夹角就是固定的；
(2) OA,OB的夹角为 ∠AOB
cos∠AOB = OA*OB/(|OA|*|OB|)
= k*m*(1-√3+1+√3)/(k*√2*m*2√2)
= 1/2
∴ ∠AOB = 60°
(3) 向量 AB = OB - OA = (m-k-√3m,m-k+√3m),
∴ |AB|² = (m-k-√3m)² + (m-k+√3m)² = (√3)²
==> 2k² - 4mk + 8m² =3
==> 2k² + 8m² = 4mk + 3
==> 2* k√2 * m√8 ≤ 2k² + 8m² = 4mk + 3
==> 8mk ≤ 4mk+3 ==> mk ≤ 3/4
(|OA| + |OB|)² = (k√2 + 2m√2)²
= 2k² + 8m² + 8mk /** 2k² + 8m² = 4mk + 3 **/
= 3+12mk ≤ 3+ 12*3/4
==> (|OA| + |OB|)² ≤ 12
因此 OA模+OB模的最大值为 2√3