题目
如图,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A、C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,设PC=m,已知点D在第一象限,且是两直线y1=2x+6、y2=2x-6中某条上的一点,若△APD是等腰Rt△,则点D的坐标为______.
提问时间:2021-03-19
答案
易知:A(0,6),C(8,0),AB=8,OA=BC=6;
则点A正好位于直线y=2x+6上;
(1)当点D位于直线y=2x+6上时,分三种情况:
①点P为直角顶点,结合图形,显然此时点D位于第三象限,不合题意;
②点D为直角顶点,那么∠DAP=45°,结合图形2可知:∠DAB>45°,
而点P位于线段BC上,故不存在这样的等腰直角三角形;
③点A为直角顶点,如图;
过D作DE⊥y轴于E,则△ADE≌△APB,得:AE=AB=8;
即点D的纵坐标为:14,代入y=2x+6中,可求得
点D(4,14);
(2)当点D位于直线y=2x-6上时,分三种情况:
①点A为直角顶点,结合图形可知,此种情况显然不合题意;
②点D为直角顶点,分两种情况:
1、点D在矩形AOCB的内部时,过D作x轴的平行线EF,交直线OA于E,交直线BC于F,设D(x,2x-6);
则OE=2x-6,AE=6-(2x-6)=12-2x,DF=EF-DE=8-x;
则△ADE≌△DPF,得DF=AE,即:
12-2x=8-x,x=4;
∴D(4,2);
2、点D在矩形AOCB的外部时,设D(x,2x-6);
则OE=2x-6,AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8-x;
同1可知:△ADE≌△DPF⇒AE=DF,即:
2x-12=8-x,x=
;
∴D(
,
);
③点P为直角顶点,显然此时点D位于矩形AOCB的外部;
设点D(x,2x-6),则CF=2x-6,BF=2x-6-6=2x-12;
易证得△APB≌△PDF,得:
AB=PF=8,PB=DF=x-8;
故BF=PF-PB=8-(x-8)=16-x;
联立两个表示BF的式子可得:
2x-12=16-x,即x=
;
∴D(
,
);
综合上面六种情况可得:存在符合条件的等腰直角三角形;
且D点的坐标为:(4,2),(4,14),(
,
),(
,
).
则点A正好位于直线y=2x+6上;
(1)当点D位于直线y=2x+6上时,分三种情况:
①点P为直角顶点,结合图形,显然此时点D位于第三象限,不合题意;
②点D为直角顶点,那么∠DAP=45°,结合图形2可知:∠DAB>45°,
而点P位于线段BC上,故不存在这样的等腰直角三角形;
③点A为直角顶点,如图;
过D作DE⊥y轴于E,则△ADE≌△APB,得:AE=AB=8;
即点D的纵坐标为:14,代入y=2x+6中,可求得
点D(4,14);
(2)当点D位于直线y=2x-6上时,分三种情况:
①点A为直角顶点,结合图形可知,此种情况显然不合题意;
②点D为直角顶点,分两种情况:
1、点D在矩形AOCB的内部时,过D作x轴的平行线EF,交直线OA于E,交直线BC于F,设D(x,2x-6);
则OE=2x-6,AE=6-(2x-6)=12-2x,DF=EF-DE=8-x;
则△ADE≌△DPF,得DF=AE,即:
12-2x=8-x,x=4;
∴D(4,2);
2、点D在矩形AOCB的外部时,设D(x,2x-6);
则OE=2x-6,AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8-x;
同1可知:△ADE≌△DPF⇒AE=DF,即:
2x-12=8-x,x=
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③点P为直角顶点,显然此时点D位于矩形AOCB的外部;
设点D(x,2x-6),则CF=2x-6,BF=2x-6-6=2x-12;
易证得△APB≌△PDF,得:
AB=PF=8,PB=DF=x-8;
故BF=PF-PB=8-(x-8)=16-x;
联立两个表示BF的式子可得:
2x-12=16-x,即x=
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综合上面六种情况可得:存在符合条件的等腰直角三角形;
且D点的坐标为:(4,2),(4,14),(
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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