题目

已知a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=1 求证：abc=0

提问时间：2021-03-19

答案

a+b+c=1,
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1
a^2+b^2+c^2=1,
ab+bc+ca=0

a^3+b^3+c^3=1
1-a^3+1-b^3+1-c^3=2
(1-a)(1+a+a^2)+(1-b)(1+b+b^2)+(1-c)(1+c+c^2)=2
(b+c)(1+a+a^2)+(c+a)(1+b+b^2)+(a+b)(1+c+c^2)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(a+b)+ca(c+a)+bc(b+c)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(1-c)+ca(1-b)+bc(1-a)=2
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+(ab+ca+bc)-3abc=2
代入数值得
2*1+2*0+0-3abc=2
3abc=0
abc=0