题目

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC，∠ACB=90°，P是AA₁的中点，Q是AB的中点．

（1）求异面直线PQ与B₁C所成角的大小；
（2）若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为

1

2

，求四棱锥C-BAPB₁的体积．

提问时间：2021-03-18

答案

（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC₁为X，Y，Z轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设CC₁=AC=BC=2．
依题意，可得点的坐标P（2，0，1），Q（1，1，0），B₁（0，2，2）．
于是，

PQ

=(-1，1，-1)，

B1C

=（0，-2，-2）．
由

PQ

•

B1C

=0，
则异面直线PQ与B₁C所成角的大小为

π

2

．
（2）连接CQ．由AC=BC，Q是AB的中点，得CQ⊥AB；
由AA₁⊥面ABC，CQ⊊面ABC，得CQ⊥AA₁．
又AA₁∩AB=A，因此CQ⊥面ABB₁A₁
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为

1

2

⇒CC₁=AC=BC=1．可得CQ=

2

2

．
所以，四棱锥C-BAPB₁的体积为VC-BAPB1=

1

3

•CQ•SBAPB1=

1

3

•

2

2

•[

1

2

(

1

2

+1)•

2

]=

1

4

．

（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC₁为X，Y，Z轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出异面直线PQ与B₁C的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线PQ与B₁C所成角的大小；
（2）连接CQ．由AC=BC，由已知中，Q是AB的中点，AA₁⊥面ABC，我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质，即可得到CQ⊥AB，CQ⊥AA₁，进而根据线面垂直的判定定理，得到CQ⊥面ABB₁A₁，故CQ即为四棱锥C-BAPB₁的高，求出棱锥的底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

本题考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，棱锥的体积，其中（1）的关键是建立空间坐标系，将异面直线夹角问题转化为向量夹角问题，而（2）的关键是根据线面垂直的判定定理，得到CQ为棱锥的高．