题目

已知C为线段AB上的一点,△ACD与△BCE都是正三角形,AE与BD交于F点,求证:∠AFC=∠BFC

提问时间：2021-03-18

答案

证明：
∵CE=CB,CA=CD,∠DCE=180°-60°-60°=60°∠DCB=∠DCE+∠ECB=120°
∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°=∠DCB
∴△ACE≌△DCB
则 ∠CDF=∠CAF
∴ ACFD共圆 （线段CF同一侧的张角相等,圆周角定理的逆定理）
则 ∠CFA=∠CDA=60° （同弧上的圆周角相等
同理可证 ∠CFB=∠CEB=60°
所以 ∠AFC=∠BFC
另：四点共圆的证明方法有以下五种,本例用的是第二种
方法1
　　从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆．
方法2
　　把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等）,从而即可肯定这四点共圆． （若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径.）
方法3
　　把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆．
方法4
　　把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)
方法5
　　证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点,即可肯定这四点共圆． 　　上述五种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这五种基本方法中选择一种证法,给予证明．