题目

设函数f（x）=x³+3x²+6x+14，且f（a）+f（b）=20，则a+b=______．

提问时间：2021-03-18

答案

∵f（x）=x³+3x²+6x+14
∴f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10
∵f（a）+f（b）=20
∴（a+1）²+3（a+1）+（b+1）²+3（b+1）=0①
令F（x）=x³+3x，，
则F（-x）=-F（x）
∴F（x）为奇函数
∴①式可变为F（a+1）=-F（b+1）
即F（a+1）=F（-b-1）
∵F（x）=x³+3x为单调递增函数
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2
故答案为-2

根据f（x）=x³+3x²+6x+14可将f（x）变形为f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10然后根据f（a）+f（b）=20可得（a+1）²+3（a+1）+（b+1）²+3（b+1）=0注意到此方程的对称性可构造函数F（x）=x³+3x则上式可变形为F（a+1）=-F（b+1）故需判断出函数F（x）的奇偶性和单调性即可求解．

本题考点：函数的值．

考点点评：本题主要考查利用函数的单调性和奇偶性进行求值．解题的关键是先将函数f（x）=x³+3x²+6x+14变形为f（x）=（x+1）³+3（x+1）+10（这也是求解此题的突破点）然后利用所得到的式子①构造函数F（x）=x³+3x最后利用函数F（x）的单调性奇偶性即可求解！