题目

已知椭圆的焦点为F₁（-6，0），F₂（6，0），且该椭圆过点P（5，2）．
（1）求椭圆的标准方程
（2）若椭圆上的点M（x₀，y₀）满足MF₁⊥MF₂，求y₀的值．

提问时间：2021-03-17

答案

（1）依题意，设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a>b>0)，其半焦距c=6．
∵点P（5，2）在椭圆上，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=

(5+6)2+22

+

(5-6)2+22

=6

5

．
∴a=3

5

，从而b²=a²-c²=9．
 故所求椭圆的标准方程是 

x2

45

+

y2

9

=1．
（2）由MF₁⊥MF₂得，
∴

MF1

•

MF2

=（-6-x₀，-y₀）•（6-x₀，-y₀）=

x

2 0

-36+

y

2 0

=0，
即x_o²=36-y₀²，代入椭圆方程得：
y_o²=

9

4

，
故 y₀=±

3

2

．

（1）设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，其半焦距c=6．由于点P（5，2）在椭圆上，利用椭圆的定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|，再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）由MF₁⊥MF₂⇔

MF1

•

MF2

＝0，并结合椭圆的方程即可得出．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．