题目

数论 请帮我
是否存在互不相同的质数p.q.r.s,使得他们的和为640,且p2+qs和p2+qr都是完全平方数?若存在,求p.q.r.s的值；若不存在,说明理由.

提问时间：2021-03-17

答案

不存在
仅供参考
证明
首先证明p,q,r,s都不为2
因为p+q+r+s=640
如果p ,q ,r,s中有为2的数
则其它3个数和为638 质数除去2都为奇数得不到638 矛盾
所以p,q,r,s都不为2
假设存在p,q,r,s满足条件
设未知数k1,k2
p^2+qs=k1^2
(k1-p）*（k1+p）=q*s……1
p^2+qr=k2^2
(k2-p）*（k2+p）=q*r……2
因为存在互不相同的质数p,q,r,s
1,2成立则左右均不能分解为其它因子的乘积
所以1得k1-p=q k1+p=s或k1-p=s k1+p=q
2得k2-p=q k2+p=r或k2-p=r k2+p=q
得到两组解k1-p=q k1+p=s k2-p=r k2+p=q和k1-p=s k1+p=q k2-p=q k2+p=r（另两组解会导致r=s,不符合题意）
由第一组解得3s-5p=640
得3s=640+5p p为奇数,5p为尾数5的数,3s为大于640且尾数为5的数,则s必是5的倍数且s一定大于5
所以5一定是s的约数
与s是质数矛盾
故不存在
同理由第二组解得3r-5p=640
得5一定是r的约数
与r是质数矛盾
故不存在
综上 不存在