题目

证明：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1,F2是其左右焦点,椭圆上任意一点M,则三角形F1MF2两个旁切圆圆心在x=正负a上

提问时间：2021-03-17

答案

设⊙Q 是与ΔF1MF2 三边MF2,F1M 的延长线,F1F2延长线相切的右边的旁切圆,设在MF2上切点为E,在F1M 延长线上的切点为R,在F1F2延长线上的切点为G.则QE,QR,QG 分别与三角形F1MF2的各边及延长线垂直.下边只要证 点G与椭圆长轴右顶点重合即可,即只要证∣GF2∣=a-c.
因 由圆外一点向圆引的两切线长相等,所以有:∣ F1R∣=∣F1G∣,∣MR∣=∣ME∣,∣ F2E∣=∣F2G∣,
又因 ∣ F1R∣= ∣F1M∣+∣MR∣=∣F1M∣+∣ME∣=2a-∣EF2∣,
∣F1G∣=∣F1F2∣+∣F2G∣=∣F1F2∣+∣EF2∣=2c+∣EF2∣,
所以 2a-∣EF2∣=2c+∣EF2∣,
即 2a-2c=2∣EF2∣,∴ a-c=∣EF2∣=∣GF2∣,∴点G与椭圆右顶点重合,即
Q 在 x=a 上 .
同理可证,左边旁切圆的圆心也在 x=-a 上.证毕.
说明,可以用此类证明方法,证明:双曲线上点M与焦点F1,F2构成的三角形内切圆圆心
也在 x=±a 上.