题目

证明alga+blgb+clgc＞(lga+lgb+lgc) (a+b+c)/3
里面的lg为常用对数
a>b>c>0

提问时间：2021-03-17

答案

一步不漏,要不选我做最佳我就太冤了.20分钟完成.
证明：
因为 a>b>c>0
所以 lga-lgc>0 a-b>0 (lga-lgc)(a-b)>0
lgb-lgc>0 b-c>0 (lgb-lgc)(b-c)>0
所以
(lga-lgc)(a-b)+(lgb-lgc)(b-c)>0
所以
alga-algc+blgc-blga+blgb-blgc+clgc-clgb>0
所以(blgc一正一负）
alga+blgb+clgc>algc+blga+clgb 1式
因为 a>b>c>0
所以
a-c>0 lga-lgb>0 (a-c)(lga-lgb)>0
b-c>0 lgb-lgc>0 (b-c)(lgb-lgc)>0
所以
(a-c)(lga-lgb)+(b-c)(lgb-lgc)>0
所以
alga-algb+clgb-clga+blgb-blgc+clgc-clgb>0
所以（clgb一正一负）
alga+blgb+clgc>algb+blgc+clga 2式
1式+2式 两边同时加 alga+blgb+clgc
可得 3（alga+blgb+clgc)>alga+algb+algc+blga+blgb+blgc+clga+clgb+clgc
右边是(lga+lgb+lgc) (a+b+c)的展开式（你可以展开看看）
所以可得
3（alga+blgb+clgc)>(lga+lgb+lgc)(a+b+c)
所以
alga+blgb+clgc＞(lga+lgb+lgc) (a+b+c)/3