题目

21．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80π3立方米,且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．详细过程

提问时间：2021-03-17

答案

（I）容器侧面积为 A1=2πr*L
两端半球表面积为 A2=4πr²
已知容器体积为 V=πr²*L+4/3*πr³=80π³
可解得 L=[80π²-4/3*r³]/r²
∴建造费用 y(r)=A1*3+A2*c
=2πr*[80π²-4/3*r³]/r²*3+4πr²*c
=48π³/r+4πr²(c-2)
∵L≥2r,∴[80π²-4/3*r³]/r²≥2r
可解得 定义域为 0<r≤(24π²)^(1/3)
（II）对y求关于r的导数,可得
y'(r)=-48π³/r²+8πr(c-2)
最小值存在,则y'(r)=0时,y(r)取得最小值
可得 -48π³/r²+8πr(c-2)=0
解得 r0=[6π²/(c-2)]^(1/3)
∴当r=r0时,建造费用最小