题目

定积分求解旋转体体积,有一个立体,以长半轴为a=10,短半轴为b=5的椭圆为底,而垂直于长轴的截面
都是等边三角形,求立体体积．正确答案（1000√3）/3．谢谢帮助

提问时间：2021-03-17

答案

（题目有点问题,应该不是旋转体吧.不过为了方便说明,还是叫他旋转体了）
设椭圆长轴为x轴,短轴为y轴.则取一小段△x,则与x轴垂直的平面所截得立体的形状应该是一个 底面为等边三角形,且边长是2y,高是△x的三棱柱.
∴△V=(1/2*2y*√3*y)*△x=√3*y^2*△x
季dV=√2*y^2*dx
由图形的对称关系可知所求旋转体在x轴正半轴的体积和在x轴负半轴的体积是相等的
∴总体积为V=2∫√3*y^2*dx(上限为10,下限为0）
又椭圆方程的参数形式为：
x=10cosθ
y=5sinθ
代入体积式子V=2∫√3*y^2*dx=∫√3*(5sinθ)^2d(10cosθ) (此时θ所对应的积分上下限分别是0,π/2)
V=500√3∫(1-cosθ^2)d(cosθ)
解定积分的∫(1-cosθ^2)d(cosθ)=2/3
所以V=（1000√3）/3
若不是很明白可以再探讨.