题目

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时a

提问时间：2021-03-16

答案

（1）当a=100时，由题意知数列a_n的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，
从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S₁₀₀=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

＝1717+132＝1849．
（2）证明：①若0＜a₁≤3，则题意成立；
②若a₁＞3，此时数列a_n的前若干项满足a_n-a_n-1=3，即a_n=a₁-3（n-1）．
设a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
则当n=k+1时，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
从而，此时命题成立．
综上：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．