题目

lim lim (1-n!)
(1+1/2+1/3+1/4+……+1/n-ln(n))= --------
n→∞ n→0 n
lim lim (1-n!)
(1+1/2+1/3+1/4+……+1/n-ln(n))= --------
n→∞ n→0 n
sorry
-_- 三楼我也会

提问时间：2021-03-16

答案

极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在,因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)
将ln(1+1/n)展开,取其前两项,由于舍弃的项之和大于0,故
ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0
即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0,所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.
于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.