题目
设x,y∈R,
、
,为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量,若向量
=x
+(y+2)
,
=x
+(y-2)提问时间:2021-03-16
i |
j |
a |
i |
j |
b |
i |
答案
(1)∵
=x
+(y+2)
,
=x
+(y-2)
∴|
|=
,|
|=
设F1(0,-2),F2(0,2),动点M(x,y),可得|
|、|
|分别表示点M到F1、F2的距离.
∵|
|+|
|=8,即M到F1、F2的距离之和等于8,
∴点M(x,y)的轨迹C是以F1(0,-2),F2(0,2)为焦点,长轴长为8的椭圆,
可得a=4,c=2,b2=a2-c2=12,
可得椭圆方程为
+
=1,即为点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)由于直线l过点(0,3),故
①当直线l为y轴时,A、B为椭圆的顶点,可得
=
+
=
此时点P与原点重合,不符合题意;
②当直线l与x轴不垂直时,设方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2)
由
消去y,得(4+3k2)x2+18kx-21=0
此时△=(18k)2-4(4+3k2)•(-21)=576k2+336>0恒成立
x1+x2=
,代入直线得y1+y2=k(x1+x2)+12=
∵
=
+
,∴四边形OAPB是平行四边形,
若四边形OAPB是菱形,则|
|=|
|
∵
=(x1,y1),
=(x2,y2)
∴x12+y12=x22+y22,化简得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
可得l的斜率k=
=-
=-
=-
解之得k=0,因此存在直线y=3,使得四边形OAPB为菱形.
a |
i |
j |
b |
i |
j |
∴|
a |
x2+(y+2)2 |
b |
x2+(y−2)2 |
设F1(0,-2),F2(0,2),动点M(x,y),可得|
a |
b |
∵|
a |
b |
∴点M(x,y)的轨迹C是以F1(0,-2),F2(0,2)为焦点,长轴长为8的椭圆,
可得a=4,c=2,b2=a2-c2=12,
可得椭圆方程为
y2 |
16 |
x2 |
12 |
(2)由于直线l过点(0,3),故
①当直线l为y轴时,A、B为椭圆的顶点,可得
OP |
OA |
OB |
0 |
此时点P与原点重合,不符合题意;
②当直线l与x轴不垂直时,设方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2)
由
|
此时△=(18k)2-4(4+3k2)•(-21)=576k2+336>0恒成立
x1+x2=
−18k |
4+3k2 |
24 |
4+3k2 |
∵
OP |
OA |
OB |
若四边形OAPB是菱形,则|
OA |
OB |
∵
OA |
OB |
∴x12+y12=x22+y22,化简得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
可得l的斜率k=
y1−y2 |
x1−x2 |
x1+x2 |
y1+y2 |
| ||
|
3k |
4 |
解之得k=0,因此存在直线y=3,使得四边形OAPB为菱形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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