题目

设M是由满足下列条件的函数f（x）（x∈R）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判断函数f（x）=

x

2

+

cos

8

-

1

8

是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是集合M中的一个元素，x₀是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于定义域中的任意两个实数x₁，x₂，当|x₀-x₁|＜1且|x₂-x₀|＜1时，不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜2成立．

提问时间：2021-03-16

答案

（I）因为f′（x）=

1

2

-

sinx

8

，所以f′（x）∈[

3

8

，

5

8

]，满足条件0＜f′（x）＜1，
又因为当x=0时，f（

π

4

）-

π

4

＞0，f（π）-π＜0，
所以方程f（x）-x=0有实数根．
所以函数f（x）=

x

2

+

cos

8

-

1

8

是集合M中的元素．
（II）不妨设x₁＜x₂，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x₁）＜f（x₂），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，
所以0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，
即|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
所以|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|=|x₂-x₀-（x₁-x₀）|≤|x₂-x₀|+|x₁-x₀|＜2．

（Ⅰ）利用方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，进行验证，即可得出结论；
（Ⅱ）构造f（x）-x，研究函数f（x）-x的单调性，从而得到|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，再利用绝对值不等式即可证得．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了导数的运算，以及不等式的证明，是一道函数综合问题，有一定难度．