题目

如图，在等腰△ABC中，AC=BC=10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC于F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若sin∠E=

2

5

，求AB的长．

提问时间：2021-03-16

答案

（1）证明：连接OD，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠BAC=∠BDO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2） 连接BG，
∵BC是⊙O直径，
∴∠BGC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°=∠BGC，
∴BG∥EF，
∴∠E=∠GBC，
∵sin∠E=

2

5

，
∴sin∠GBC=

2

5

=

CG

BC

，
∵BC=10，
∴CG=4，
∴AG=10-4=6，由勾股定理得：BG=

BC2-CG2

=2

21

，
在Rt△BGA中，由勾股定理得：AB=

BG2+AG2

=

(2 21 )2+62

=2

30

，即AB=2

30

．

（1）连接OD，根据等腰三角形性质求出∠A=∠ABC=∠ODB，推出OD∥AC，推出OD⊥DF，根据切线判定推出即可；
（2）连接BG，推出BG∥EF，推出∠E=∠GBC，根据已知推出sin∠GBC=

2

5

=

CG

BC

，求出CG，求出AG，根据勾股定理求出BG，在△BGA中，根据勾股定理求出AB即可．

本题考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．

考点点评：本题考查了勾股定理，切线的判定，平行线的性质和判定，解直角三角形等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．