题目

求函数y=(2+sinx)(2+cosx)的最值

提问时间：2021-03-16

答案

y=(2+sinx)(2+cosx)
=4+2(sinx+cosx)+sinxcosx
=[(sinx+cosx)²-1]/2+2(sinx+cosx)+4
=(sinx+cosx)²/2+2(sinx+cosx)+7/2
=(1/2)[(sinx+cosx)+2]²+3/2
因为 sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
-√2≤sinx+cosx≤√2
所以
当 sinx+cosx=-√2时
y有最小值为 (1/2)(4+2-4√2)+3/2=9/2-2√2
当 sinx+cosx=√2时
y有最大值为 (1/2)(4+2+4√2)+3/2=9/2+2√2