题目

洗过的衣服含水有洗衣粉残液,现用总量为A的清水漂洗,漂洗一次再甩干后衣服上有a的水分
（1）若规定漂洗两遍,问如何分配两次的用水量,才能使漂洗的效果最好?（2）若规定每次漂洗的用水量相同,问分几次漂洗才能使漂洗的效果最好?
第一个太复杂了，我只要微分方程就行

提问时间：2021-03-15

答案

(1)设漂洗前衣服含有的洗衣粉残液中洗衣粉的浓度为k .并设漂洗第一遍时的用水量
为x ,则充分漂洗后的水中 ,洗衣粉的浓度为kx/[(1-k)a+x] .第一遍漂洗再甩干后衣服上仍有
a的水分.再加入剩余的清水 ,即加入A-x的水 ,充分漂洗后的水中 ,洗衣粉的浓度为
L(x)
={a*ka/[(1-k)a+x]}/{[1-ka/((1-k)a+x)]*a+A-x}
=ka^2/[-x^2+(A+ka）x+(1-2ka^2+Aa-Aka)],x∈(0,A).
求导得：
L'(x)=-[ka^2*(-2x+A+ka)]/[-x^2+(A+ka)x+(1-2ka^2+Aa-Aka)]^2
令L'(x)=0,解得x=(A+ka)/2.
该问题有最小值,且在（0,A)内有唯一驻点,因此该点就是最小值点.即当第一次用水量为(A+ka)/2时,经第二遍漂洗在甩干后残留在衣服上的洗衣粉浓度最小 .当洗衣粉原液的
浓度k很小 ,或者能充分甩干 ,即a很小时,(A+ka)/2≈A/2,可见,此时两次平均用水,漂洗效果最好.