题目

设S为非空集合,且满足:(i)2∉;S;(ii)若a∈S,则1/（2-a）∈S.
空不够了
证明：（1）对一切n∈N+,n≥3,有n/（n-1）∉S
（2）S或者是单元素集,或者是无限集

提问时间：2021-03-15

答案

1）
反证法：
若有一个n/（n-1）属于S,由（ii)有
1/（2-n/(n-1))=（n-1)/(n-2)也属于s
从而有递推关系：
n/（n-1）--->（n-1)/(n-2)---->(n-2)/(n-3).--->2/1都属于s
与2不属于s矛盾
2）s={1}为符合条件的单元素集
若s为有限集,则有非1元素,a,有1/（2-a）∈S,由（ii)可以继续推导出：
（2-a)/(3-a),(3-2a)/(4-3a）
都属于s,利用归纳法易证形如
(（i+1)-ia)/(i+2-(i+1)a)的数都属于s
且(（i+1)-ia)/(i+2-(i+1)a)两两不同（利用a不等于1,反证易得）
从而s如果有非1元素,必有无穷元素.
综上,S或者是单元素集,或者是无限集