题目

等比数列求和极限求公比问题
等比数列an,公比q≠1,Sn=a1+a2+……+an,Rn=1/a1+1/a2+……+1/an (1)用a1,q表示Sn/Rn(2)求lim Sn/Rn （3）若S1/R1,S3/R3,S5/R5成等差数列,求q的值.

提问时间：2021-03-15

答案

a(1)=a, a≠0.
a(n)=aq^(n-1),q≠1.
s(n)=a[q^n - 1]/(q-1).

1/a(n)=(1/a)(1/q)^(n-1),
r(n)=(1/a)[(1/q)^n-1]/(1/q-1),

s(n)/r(n) = a[q^n-1]/(q-1)*a(1/q-1)/[(1/q)^n - 1] = a^2(q^n-1)/(q-1)*(1-q)/q*q^n/(1-q^n)
=a^2*q^(n-1),

q>1 时, lim_{n->无穷}s(n)/r(n) = 正无穷.
0无穷时, s(n)/r(n)无极限.
q无穷}s(n)/r(n) = 无穷

2s(3)/r(3) = 2a^2q^2 = s(1)/r(1)+s(5)/r(5) = a^2 + a^2q^4,
2q^2 = 1 + q^4,
0=1 - 2q^2 + q^4 = (1-q^2)^2, q = -1.