题目

已知四边形ABCD的面积为1,点E,F,G,H分别在四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上
（1）如果点E、F、G、H分别是各边的中点,如图1,请直接写出四边形EFGH的面积.
（2）如果AE/EB=BF/FC=CG/GD=DH/HA=2,如图2,请求出四边形EFGH的面积；
（3）如果AE/EB=BF/FC=CG/GD=DH/HA=k（k是正数）,如图3,请用k的代数式表示四边形EFGH的面积,并说明理由.

提问时间：2021-03-14

答案

（1）1/2
(2)S△AEH:S△ABD=AE/AB*AH/AD=2/3*1/3=2/9 同理S△CFG:S△CBD=2/9
∴S△AEH+S△CFG=2/9S四边形ABCD
同理S△BEF+S△DGH=2/9S四边形ABCD
故S四边形EFGH=（1-2/9)S四边形ABCD=7/9
(3)S△AEH:S△ABD=AE/AB*AH/AD=1/(k+1)*k/(k+1)=k/(k+1)²同理S△CFG:S△CBD=k/(k+1)²
∴S△AEH+S△CFG=k/(k+1)²S四边形ABCD
同理S△BEF+S△DGH=k/(k+1)²S四边形ABCD
故S四边形EFGH=【1-k/(k+1)²】S四边形ABCD=（k²+k+1)/(k+1)²