题目

如图.点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点.且BE=BC.AB=3.BC=4.点P为直线EC上一点.且PQ⊥BC于点Q.PR⊥BD于R
(1)当点P为线段EC中点时.易证.PR+PQ=?
(2)当P为EC上任意一点（不与E.C.重合）其他条件不变.则（1）中的结论仍然成立.若成立.请给与证明.若不成立.请说明理由
（3）当P为线段EC延长线上任意一点时,其他条件不变,则PR与PQ之间又有怎样的数量关系.请写出你的猜想.不用证明.

提问时间：2021-03-14

答案

1）PR＋PQ＝AB*BC/BD
作EF⊥BC交BC于F点.连接BP,
∵△BEP的面积＝1/2BE*PR,△BCP的面积＝1/2BC*PQ,BE=BC
∴△BCE的面积＝△BEP的面积＋△BCP的面积＝1/2BC*(PR+PQ)
∵△BCE的面积＝1/2BC*EF,∴PR＋PQ＝EF
∵EF⊥BC,CD⊥BC,∴EF∥CD
∴△BEF∽△BCD,∴EF/CD=BE/BD=BC/BD,
∴EF=CD*BC/BD=AB*BC/BD
∴PR+PQ=AB*BC/BD
用勾股定理算出BD＝5,∴PR＋PQ=3*4/5=2.4
从以上证明可以看出只要P点在EC上,结论都是一样的,与中点无关.
3）如果P的EC延长线上,用类似的方法可以得PR-PQ=AB*BC/BD=2.4