题目

微分方程（首次积分）
已知dx/(e^x+z)=dy/(e^y+z)=dz/(z^2-e^(x+y)),求x,y,z的关系式
有括号的地方我都打了,应该不存在歧义
答案是x+z*e^(-y)=c1,y+z*e^(-x)=c2（其中*是乘号,z上没有指数）
能得到这答案请告诉我,谢谢!
只要能解出来就行

提问时间：2021-03-14

答案

由已知得dy/dx=(e^y+z)/(e^x+z),dz/dx=(z^2-e^(x+y))/(e^x+z),dz/dy=(z^2-e^(x+y))/(e^y+z),所以可以得到三式,e^ydx+zdx=e^xdy+zdy,e^xdz+zdz=z^2dx+e^(x+y)dx,e^ydz+zdz=z^2dy-e^(x+y)dy.三式由可由二式轮换得到.取一式和二式,整理一式得ze^ydx-z^2dy=ze^xdy-z^2dx,整理二式得zdz=z^2dx-e(x+y)dx-e^xdz,俩式相加,右边等于0,所以dx-ze^(-y)+e(-y)dz=0,积分后可得答案,另外,取一式和三式经常类似的处理可得第二个答案.