题目

设f(x)在(－∞,＋∞)内连续,且f(x)>0,证明F(x)=[∫(0-x)tf(t)dt]/[∫(0-x)f(t)dt]在（0,＋∞)单调增加
∫(0-x)表示下标为0 上标为x,

提问时间：2021-03-14

答案

此问题的核心是求该函数的导数,然后证明其导数大于0(我想难点可能在导数分析上).
对F(x)关于x求导



对F(x)的表达式, 可知其分母大于0, 对其分子项进行分析, f(x)是大于零的,由因为积分项里面x>t,故积分项也是大于零的,故



从而证得F(x)>0.亦即F(x)在区间(0,+infty)是单调递增的.