题目

关于“参数方程表示的函数”求导疑问!
求参数方程x=arctant,y=ln(1+t^2）所表示的函数y=y(x)的二阶导数
课本上解答它的一阶导数是2t,可是我想问,既然二阶导数是在一阶求导的基础上再求一次导,那为什么二阶导数不是2t的导数即是2,而是2乘arctant导数的倒数呢?
换句话说,既然dy/dx=ψ‘(t)/φ'(t),这是一阶导数结果.那么求二阶时为什么不对一阶再次求导即二阶导数是ψ‘(t)/φ'(t)的导数呢?而是还要再对ψ‘(t)/φ'(t)再求导,然后乘dt/dx呢?
我这里实在没分了,

提问时间：2021-03-14

答案

y=y(x)的二阶导数指的是y对x求二阶导数,即y对x的一阶导数2t对x求一阶导数,你所说的“2t的导数即是2”指的是“y=y(x)对x的一阶导数是2t, y=y(x)对x的一阶导数对t求一阶导数是t”；
建议你写导数的时候少用f‘(t)的形式,多用dy/dx的形式；这道题完整的做法如下：
y''(x)=d(y'(x))/dx;
y'(x)=dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(dy/dt)/(dx/dt)=2t;
y''(x)=d(y'(x))/dx=(dy'(x)/dt)(dt/dx)=(dy'(x)/dt)/(dx/dt)=2/(1/(t^2+1))=2t^2+2
你算出的2是d(y'(x))/dt=2