题目

证明:复数域Q(i)的自同构只有两个.证明:模3的剩余类群作为加群有两个自同构,作为域只有一个自同构.
电灯剑客就是咸蛋超人。

提问时间：2021-03-14

答案

首先注意,Q(i)不是复数域,只是一个子域,复数域的自同构可能有很多（取决于选择公理）.
如果想界定自同构的个数,最基本的得知道恒等映射是自同构,然后只要找非恒等的映射就行了.
先证明Q的自同构只有恒等映射,因为f(0)=0,f(1)=1,然后对正整数m,n,
f(mx)=f(x)+...+f(x)=mf(x),可以推出f(m)=mf(1)=m,
再由f(1)=f(n/n)=nf(1/n)得到f(1/n)=1/n,所以f(m/n)=m/n,
最后x>0时f(-x)=f(0)-f(x)=-x.
如果f是Q(i)的自同构,那么按上面的讨论f限制在Q上必须是自同构,既然如此,-1=f(-1)=f(i)f(i),可得f(i)=i或者f(i)=-i,f由f(1)和f(i)唯一确定,所以只有两个解（恒等映射和复共轭）.
另一题不讲了,你完全可以自己做,连这种题拿出来问属于不动脑筋.