题目

已知四边形OABC的一边OA在x轴上，O为原点，B点坐标为（4，2）．

（1）如图①，若四边形OABC的顶点C（1，4），A（5，0），直线CD平分该四边形的面积且交x轴于点D，试求出△OAC的面积和D点坐标；
（2）如图②，四边形OABC是平行四边形，顶点C在第一象限，直线y=kx-1平分该四边形的面积，若关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．

提问时间：2021-03-14

答案

（1）过C作CE⊥x轴于点E，作BF⊥CE于点F．
则E的坐标是（1，0），F的坐标是（1，2）．
则S_△OCE=

1

2

×OE×CE=

1

2

×1×4=2，
S_△BCF=

1

2

BF•CF=

1

2

×3×2=3，
S_梯形FEAB=

1

2

（AE+BF）•EF=

1

2

（4+3）×2=7，
则S_{四边形OABC}=2+3+7=12，
设D的坐标是（x，0），则S_△OCD=

1

2

×4x=2x=

1

2

×12，
解得：x=3，
则D的坐标是（3，0），
S_△AOC=

1

2

×5×4=10；
（2）∵直线y=kx-1平分平行四边形OABC，
∴直线y=kx-1一定经过对角线的交点，即OB的中点，
又∵B的坐标是（4，2），即中点是（2，1），
∴把（2，1）代入y=kx-1得：2k-1=1，
解得：k=1，
则关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k是：y=mx²-（3m+1）x+2m+1．
当函数是一次函数，即m=0时，与坐标轴只有两个交点；
当m≠0时，抛物线与坐标轴只有两个交点，则△=（3m+1）²-4m（2m+1）=0，即m²+2m+1=0，解得m=-1．
综上所述m=0或m=-1时，抛物线与坐标轴只有两个交点．