题目

椭圆C的离心率是（√2）/2,焦点F（c,0)(c>0)与椭圆上的点的最短距离是（√2）-1
求：（1）求椭圆C的方程
（2）直线X-Y-M=0,与椭圆C在不同的点A,B相交,线段AB的中点在圆X^2+Y^2=5/9时求M的值.

提问时间：2021-03-14

答案

【1解】：
焦点F（c,0)(c>0)与椭圆上的点的最短距离是（√2）-1
根据椭圆焦半径公式：｜PF1｜=a+ex；｜PF2｜=a-ex
x取最大值a,a-ex最小（其实就是右端点）；
所以a-ea=(1-(√2)/2)*a=(√2)-1,解得：a=√2
则e=c/a=c/√2=(√2)/2,得：c=1；b=(a^2-c^2)^(1/2)=1
所以椭圆C的方程：x^2/2+y^2=1
【2解】：
直线：y=x-m；椭圆：x^2/2+y^2=1
联立：x^2+2(x-m)^2=2
化简：3x^2-4mx+2m^2-2=0
⊿=16m^2-12(2m^2-2)=24-8m^2>0
由韦达定理：x[a]+x[b]=4m/3
由直线方程：y[a]+y[b]=x[a]+x[b]-2m=-2m/3
AB中点坐标（(x[a]+x[b])/2,(y[a]+y[b])/2）,代入得：（2m/3,-m/3）
中点在圆X^2+Y^2=5/9上,代入得：
4m^2/9+m^2/9=5/9
解得：m^2=1,即：m=±1