题目

已知f（x）=alnx+

1

2

x²（a＞0），若对任意两个不等的正实数x₁，x₂，都有

f(x1)−f(x2)

x1−x2

＞2恒成立，则a的取值范围是（　　）
A. （0，1]
B. （1，+∞）
C. （0，1）
D. [1，+∞）

提问时间：2021-03-14

答案

对任意两个不等的正实数x₁，x₂，都有

f(x1)−f(x2)

x1−x2

＞2恒成立
则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立
f'（x）=

a

x

+x≥2在（0，+∞）上恒成立
则a≥（2x-x²）_max=1
故选D．

先将条件“对任意两个不等的正实数x₁，x₂，都有

f(x1)−f(x2)

x1−x2

＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．

本题考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．