题目
已知二次函数y=(t+1)+2(t+2)x+3/2图象的对称轴是x=1.(1)求二次函数的解析式;(2)将二次函数y=(t+1)+2(t+2)x+3/2图象向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位,得到二次函数的解析式为____.(3)将二次函数y=(t+1)+2(t+2)x+3/2的图象绕顶点旋转180°得到新的抛物线.求证:当新抛物线的顶点在原抛物线上运动时,新抛物线一定过原抛物线的顶点.
提问时间:2021-03-13
答案
⑴抛物线y=(t+1)+2(t+2)x+3/2的对称轴是x=1,
即-2(t+2)/[2(t+1)]=1,t=-3/2,
∴Y=-1/2X^2+X+3/2,
⑵Y=-1/2(X-1)^2+2,顶点坐标:(1,2),
顶点(1,2)向右再向下各平移2个单位后为(3,0),
∴Y=-1/2(X-3),即Y=-1/2X^2+3X-9/2.
⑶将新抛物线Y=1/2(X-3)^2,当顶点坐标在Y=-1/2X^2+X+3/2上运动时,
设顶点坐标为(m,-1/2m^2+m+3/2),
∴Y=1/2(X-m)^2-1/2m^2+m+3/2
=1/2X^2-mx+1/2m^2-1/2m^2+m+3/2
=1/2X^2-mX+m+3/2
当X=1时,Y=1/2-m+m+3/2=2,
即新抛物线过(1,2)即过原抛物线 的顶点.
即-2(t+2)/[2(t+1)]=1,t=-3/2,
∴Y=-1/2X^2+X+3/2,
⑵Y=-1/2(X-1)^2+2,顶点坐标:(1,2),
顶点(1,2)向右再向下各平移2个单位后为(3,0),
∴Y=-1/2(X-3),即Y=-1/2X^2+3X-9/2.
⑶将新抛物线Y=1/2(X-3)^2,当顶点坐标在Y=-1/2X^2+X+3/2上运动时,
设顶点坐标为(m,-1/2m^2+m+3/2),
∴Y=1/2(X-m)^2-1/2m^2+m+3/2
=1/2X^2-mx+1/2m^2-1/2m^2+m+3/2
=1/2X^2-mX+m+3/2
当X=1时,Y=1/2-m+m+3/2=2,
即新抛物线过(1,2)即过原抛物线 的顶点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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