题目

帮忙看一道关于无穷级数的问题,
已知f(x)=Σx^n/n （以下n的范围都是1到∞）,求g(x)=∫x^2*f ' (x)dx及其泰勒展开式、收敛域.
g(x)=[(1-x^2)*ln(1-x)]/2+x^2/4+x/2+c=c+Σx^(n+2)/[n*(n+2)]
可是我怎么算g(x)都等于-x^2/2-x-ln(1-x)+c跟答案差好远.g(x)=∫x^2/(1-x)*dx这一步没错吧?

提问时间：2021-03-13

答案

从答案来看,f(x)＝Σx^n/n^2,而不是题目的形式.
此时令h(x)=xf'(x)=Σx^n/n＝－ln(1－x).
于是 g(x)＝∫x^2*f ' (x)dx＝∫x*h(x)dx=－∫xln(1－x)dx,然后分部积分就可以了.
这样与答案一致.