题目

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12．q=

S2

b2

（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=

1

Sn

，求的{c_n}的前n项和T_n．

提问时间：2021-03-13

答案

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，
因为

b2+S2=12 q= S2 b2

所以b₂+b₂q=12，即q+q²=12，
∴q=3或q=-4（舍），
b₂=3，s₂=9，a₂=6，d=3．
故a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1．
（Ⅱ）因为Sn=

n(3+3n)

2

=

3n(n+1)

2

，
所以：c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
故T_n=

2

3

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3(n+1)

．

（Ⅰ）根据条件列出关于公差和公比的方程组，解方程即可求出公差和公比，进而求出通项；
（Ⅱ）对通项化简，利用裂项法求和，即可得到数列的前n项和．

本题考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列与等比数列的综合，考查裂项法求数列的和，属于中档题．