题目

已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；
（2）探究a_n与

1

n

的大小，并证明你的结论．

提问时间：2021-03-13

答案

（1）an2≤an-an+1，得an+1≤an-an2∵在数列{an}中an＞0，∴an+1＞0，∴an-an2＞0，∴0＜an＜1故数列{an}中的任意一项都小于1．（2）由（1）知0＜an＜1＝11，那么a2≤a1−a21＝−(a1−12)2+14≤14＜12，由此猜想：an...

（1）根据正项数列{a_n}，以及a_n²≤a_n-a_n+1，可得0＜a_n+1≤a_n-a_n²，解此不等式即可证明结论；
（2）根据（1），不难得出a₁＜1，a₂＜1，利用数学归纳法证明即可．证明时先证：①当n=1时成立．②再假设n=k（k≥1）时，成立，即ak＜

1

k

≤

1

2

，再递推到n=k+1时，成立即可．

本题考点：数列与不等式的综合；数学归纳法．

考点点评：本题主要考查数列与不等式问题和数学归纳法，对探究性问题先归纳，再猜想，最后利用数学归纳法证明，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立，属中档题．