题目

设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x²∈S．给出如下命题：
①若m=1，则S={1}；
②若m=-

1

2

，则

1

4

≤l≤1；
③若l=

1

2

，则-

2

2

≤m≤0；
④若-

1

2

≤m≤0，则0≤l≤4．
其中所有正确命题的序号是______．

提问时间：2021-03-13

答案

由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：
当x∈S时，有x²∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，
惟如此才能保证m∈S时，有m²∈S即m²≥m，
符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，
惟如此才能保证l∈S时，有l²∈S即l²≤l，正对各个命题进行判断：
对于①m=1，m²=1∈S故必有

l2≤l l≥1

，
可得l=1，S={1}，
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S则

l2≤l 1 4 ≥l

，
解之可：

1

4

≤l≤1；
对于③若l=

1

2

，则

1 2 ≥m 1 2 ≥m2

，
解之可得-

2

2

≤m≤0，
由符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，可知④错误，
故正确命题的序号为：①②③．
故答案为：①②③

根据题中条件：“当x∈S时，有x²∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得

l2≤l l≥1

，②m=-

1

2

，则

l2≤l 1 4 ≥l

对于③若l=

1

2

，则

1 2 ≥m 1 2 ≥m2

，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．

本题考点：元素与集合关系的判断．

考点点评：本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．