题目

f(x)＝

1

3

x3−x2+ax−5在区间[-1，2]上有反函数，则a的范围是 ______．

提问时间：2021-03-13

答案

因为f(x)＝

1

3

x3−x2+ax−5在区间[-1，2]上有反函数，
所以f（x）在该区间[-1，2]上单调，
则f'（x）=x²-2x+a≥0在[-1，2]上恒成立，
得a≥1
或在f'（x）=x²-2x+a≤0上恒成立，
得a≤-3．
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

欲使原函数在区间[-1，2]上有反函数，只须其在区间[-1，2]上是单调函数即可，利用导数研究，只须其导数在区间[-1，2]上恒为非正或非负即可，最后利用二次函数的图象与性质即得a的范围．

本题考点：反函数；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数单调性的应用、反函数、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．