题目

已知抛物线x²=2py(p>0)上的点到直线lx-y-2的距离√2/2,求抛物线标准方程
已知抛物线x²=2py(p>0)上的点到直线lx-y-2的距离最近√2/2,求抛物线标准方程

提问时间：2021-03-13

答案

令抛物线上距离直线L最近的点为Q(x0,y0),则过Q点的切线平行于直线L
令过Q点的切线为x0x=p(y+y0),即x0x-py-py0=0
则x0=p（I）
而Q到直线L的距离为
|x0-y0-2|/√2=√2/2（II）
又点Q在抛物线上有
x0^2=2py0（III）
由(I)(II)(III)得(p/2-2)^2=1
解得p=2或p=6
所以抛物线方程为
x^2=4y或
x^2=12y