题目

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{a_n}满足a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），a₁=1，a₂=3．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是差等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）S_n是数列{a_n}的前n项和，如果对任意的正整数n（n≥4），不等式S_n≤ka_n-9k恒成立，求实数k的取值范围．

提问时间：2021-03-13

答案

（Ⅰ）证明：由an+1=3an-2an-1，得an+1-an=2an-2an-1（n≥2），∵a2-a1=2≠0，∴an+1−anan−an−1＝2，∴数列{an}是差等比数列；（Ⅱ）∵数列{an+1-an}是等比数列，首项a2-a1=2，公比为2，∴an+1−an＝2×2n−1＝2n...